数学应用与建模的中德比较

作 者:

作者简介:
钱月凤,苏州大学数学科学学院(215006).

原文出处:
数学通报

内容提要:

对中德两国数学课程标准中数学应用与建模的相关内容进行比较分析,从“应用观点与建模视角”“建模循环的不同描述”和“数字工具与建模”三个方面介绍两国的建模循环研究;从课程设置、教材处理、建模评价和教师培训四个角度介绍两国数学应用与建模方面的做法.文章通过比较研究,给出了意见和建议.


期刊代号:G312
分类名称:高中数学教与学
复印期号:2019 年 01 期

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      数学应用与建模是数学教育中一个重要的研究领域.ICTMA每两年举行一次有关数学建模的国际讨论会议,在这些会议上做出的报告会发表在Springer“数学建模教与学的国际视角”专题.另外,ICMI也十分关注数学教育中的建模与应用;自1976年ICME 3以来,应用与建模的相关性进一步加强.其中,德国在这一国际领域做出了重要贡献,尤其是建模循环(Modelling Cycles)的研究十分丰富.而我国新的高中数学课程标准将“数学建模”作为六个核心素养之一,已于2018年正式颁布.基于这样的国际背景与课改趋势,数学应用与建模的中德比较研究很有必要.

      一、课程(教育)标准

      在我国,数学建模活动普遍存在于大学,而中学数学课程中建模的内容相对较少.2001年颁布《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》后,数学建模才开始进入中学数学课程.而2012年颁布的《义务教育数学课程标准(2011年版)》新增“模型思想”作为十个核心概念之一,并提出:“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括:从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律,求出结果并讨论结果的意义”[1].2003年,我国颁布了《普通高中数学课程标准(实验)》,第一次把“数学建模”作为贯穿于整个高中数学课程的重要内容.2018年颁布的《普通高中数学课程标准(2017年版)》将“数学建模”定义为“是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养”,且十分详细地对其进行了三个水平的划分2.

      在联邦德国,各个联邦州对教育享有独立的自主权,各州都有独立的数学课程大纲,而各州的教育质量参差不齐.为保障教育均衡发展,2003年,德国第一次颁布全联邦性的教育标准.在德国2003年中学数学教育标准、2004年小学数学教育标准以及2012年高等教育入学资格教育标准中,均将数学建模描述为一种能力.例如,2012年德国文化部长联席会议(KMK)针对完全中学高中毕业生颁布的《高中数学教育标准》将数学建模能力划分为以下三个水平[3]:

      水平Ⅰ:学生会用熟知的模型;会将实际情境直接转化为某个数学模型;会根据实际情境验证数学结果.

      水平Ⅱ:学生会进行有一定限制条件的多步骤建模;会解释这类模型给出的结果;会调整数学模型以适应不同的情境.

      水平Ⅲ:学生会根据复杂实际情境模型,确定变量和条件;会检验、比较和评价实际情境下的数学模型.

      从以上介绍中可以看出,两国都强调数学应用与建模的重要性,这也符合国际数学课程改革的趋势.我国的数学课程标准主要强调发展学生的数学模型思想,增强学生的应用意识,提升数学建模核心素养;德国的数学教育标准则着重强调提高学生的数学建模能力.

      二、建模循环

      主要从“应用观点与建模视角”“建模循环的不同描述”和“数字工具与建模”三个方面介绍两国的建模循环研究.

      1.应用观点与建模视角

      数学教育研究领域中有关应用与建模的国际或国家讨论大多基于不同的理论视角,从而出现不同倾向的应用观点与建模视角.

      在我国,一般基于现实应用视角,将数学建模作为问题解决的一个重要方面.我国学者李明振和喻平指出,数学建模是实现数学学科应用功能的重要中介和基本形式[4].喻平强调,数学建模与数据分析属于问题解决范畴,因此可能有包含关系之嫌,但是,问题解决具有的性质是数学建模和数据分析不能涵盖的[5].另外,有学者强调数学建模不同于传统解题只将焦点放在问题的数学表征和数学解答上,而将焦点从发现解答改变为转换与诠释情境信息,辨别潜在的问题,建立模型,再诠释数学解答的前提、假设与可能的误差[6].

      在德国,有研究者根据应用数学教育的目的,总结了四种应用观点[7].

      ①实用主义观点:数学作为特殊的应用工具,应该有助于学生理解和应对各种不同的数学情境;

      ②形式主义观点:应用可以促进无法立即为特殊情况提供帮助的一般技能与态度的发展;

      ③科学哲学观点:应用为学生提供了一个关于数学的整体印象;

      ④学习心理学观点:应用被看作是学习数学的一种帮助.

      21世纪初,Kaiser和Sriraman对学校数学建模的理论视角进行了分类[8].随后,不同倾向的理论视角在德国建模的讨论中进一步分化,主要有以下四种[7]:

      ①现实应用建模(Realistic and applied modeling):建模被看作是解决实际问题的行为,侧重于解决实际问题、理解实际、鼓励提高建模技能;

      ②教学(法)建模(Pedagogical modeling):建模完全包含于教学,一方面鼓励建模的学习过程,另一方面包括通过建模实例来引入并练习新的数学方法;

      ③社会批判建模(Socio-critical modeling):建模旨在批判性地考查数学模型和数学在社会中的一般作用;

原文参考文献:

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