“功率一定，力和速度成反比”的现象能发生吗

      一、问题的由来

      先来看一道经典习题，题目如下：

      质量为的汽车，发动机的额定功率为60kW。假设汽车在平直公路上从静止开始以额定功率加速运动，汽车受到的阻力恒定，经过150m后达到最大速度，其大小为30m/s。求：

      (1)汽车所受阻力的大小；

      (2)汽车作加速运动的时间。

      1.传统解法

      (1)由于功率一定，所以速度增大时牵引力必然减小，因此汽车作变加速运动，速度越来越大而加速度越来越小，达到最大速度时作匀速运动，此时牵引力等于阻力。即。

      

      

      结论：任何以额定功率运动的汽车，在阻力一定的路面上行驶时其最大速度不可能达到，只能无限趋近，经过一段时间达到的只能是最大速度的近似值。

      这一结论显然是荒谬的、不切实际的，它与我们的常识和经验相违背，因为实际生活中的汽车并不需要经过无限长的时间而只需要经过有限的时间甚至是很短的时间就可以达到额定功率下的最大速度。

      2.对问题的深入分析

      从上面的推导过程看，没有任何问题，因此，结论的荒谬只能归结于前提的荒谬，而推导的前提就是汽车以额定功率从静止作加速运动以及功率一定，力和速度成反比。功率的公式P=Fv是直接根据功率和功的定义推导出来的，即

      

      当F和v的方向相同时，有P=Fv，因此，功率的公式是绝对没有问题的。从数学上讲，功率P一定，F和v成反比也没有什么问题。但是数学上没有问题不等于物理上没有问题。也不代表这样的情况真的能够发生。

      几十年甚至上百年来，几乎所有的人和所有的物理教科书上都认为这样的情况是能够发生的。人民教育出版社2006年11月第二版，2007年12月第2次印刷的高中物理必修2第56页倒数第二行有这样一段话：“从P=Fv可以看出，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的功率P一定时，牵引力F和速度v成反比，要增大牵引力就要减小速度。”其他物理教科书也有类似的论断。笔者将证明，这一误导人们很多年，看似正确的论断是荒谬的，完全不切实际的，证明分两步：

      第一步证明“汽车不可能以额定功率从静止开始作加速运动”。证明非常简单，由P=Fv。可知，如果功率一定且从静止开始就一直不变，那么当汽车的速度趋于零时，牵引力将趋于无穷大。而事实上，从来就没有哪一辆汽车启动时牵引力能真正达到无穷大。另外由P=Fv也可以得出功率一定时，如果牵引力趋于零，则速度将趋于无穷大。事实上，当牵引力等于阻力时汽车将作匀速运动，而牵引力等于零时，汽车将在恒定阻力作用下作匀减速运动，绝不可能使速度达到无穷大。这说明不可能出现汽车以额定功率从静止开始做加速运动这样的现象。换句话说，由功率的公式P=Fv中所得出的“P一定，F和v成反比”这一结论至少不适用于速度趋于零或力趋于零的情况。否则将出现无穷大的力或无穷大的速度这一荒谬现象。剩下的只有一种可能，那就是汽车或许能够从某一不等于零的初速度开始以额定功率作加速运动，并且在运动过程中力不趋向于零，而是至少大于等于某一个有限值。下面我们将证明这样的可能性是不存在的。

      第二步，证明“汽车不可能以额定功率作变速运动”

      假定在地面参照系K中，汽车从某一初速度开始以额定功率作加速运动。那么我们可以选择另外一个相对于地面以速度u作匀速运动且方向和汽车运动方向一致的惯性参照系S，在这个参照系中，汽车显然是从初速度(-u)开始作加速运动的，在参照系K中有P=Fv，且P是恒定不变的。在参照系S中有P'=F'v'。在经典力学或宏观低速范围内，所有惯性系中测得的力是一样的，即有F=F'，另外由经典速度合成定理得v'=v-u。于是有

      

      由此我们可得到一个重要的结论：如果在一个惯性系中汽车以额定功率P从某一初速度开始作加速运动，则在另一惯性系中的观察者将会测得汽车的功率是从开始随物体速度的增大而不断增大的。于是同一物理过程在不同的惯性系中测得的功率变化情况完全不同。由此，我们就可以根据功率的变化情况来判断参照系到底是静止的还是运动的。即如果在一个参照系中测得物体在阻力恒定的路面上做加速运动时牵引力（或发动机）的功率恒定不变，那么我们就有理由认为这一参照系是静止参照系。如果同样的过程在另一个参照系中测得牵引力的功率是变化的，那么我们就有理由认为这个参照系是运动参照系。显而易见，这完全违背了力学相对性原理（狭义相对性原理的一个特例）［此原理可表示为：不可能纯粹通过力学实验来判断参照系是静止的还是运动的］。因此这样的现象是不可能发生的。如果汽车以额定功率作减速运动，也会出现汽车的速度趋于零时，牵引力将趋于无穷大，或牵引力趋于零时速度趋于无穷大的现象。显然这两种情况都不可能发生。类似地，以额定功率从某一速度减速到(≠0）也不可能。理由与从开始作加速运动一样。这样我们就有结论：汽车不可能以额定功率作变速运动！或者可以说：“功率一定，力和速度成反比”的现象不可能发生。